傅立叶变换

傅里叶变换的意义和理解是什么?

傅里叶变换的意义和理解：一、意义：从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。在数学领域，尽管最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类。正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。二、理解：傅里叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅里叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。傅里叶变换的相关说明：1、图像经过二维傅里叶变换后，其变换系数矩阵表明：若变换矩阵Fn原点设在中心，其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近（图中阴影区）。若所用的二维傅里叶变换矩阵Fn的原点设在左上角，那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅里叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频区域。2 、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大（幅角比较大）。以上内容参考：百度百科-傅里叶变换

傅里叶变换的性质

傅里叶变换性质有线性、位移、微分、积分。1、线性性质：函数线性组合的傅里叶变换=各函数傅里叶变换的线性组合。2、位移性质（shift信号偏移，时移性）。3、微分性质：一个函数导数的傅里叶变换等于这个函数傅里叶变换乘以因子iw。4、积分性质：一个函数积分后的傅里叶变换等于这个函数傅里叶变换除以因子iw。利用傅氏变换的这四条性质，可以将线性常系数微分方程转化成为代数方程，通过求解代数方程和求傅氏逆变换，可得到微 分方程的解。位移性质：f（t-t0）表示时间函数f（t）沿t轴向右平移t0，其傅里叶变换=f（t）的傅里叶变换乘以因子exp（-iwt0），类似f（t+t0）的傅里叶变换=f（t）的傅里叶变换乘以因子exp（iwt0）而F（w-w0）的表示频谱函数沿w轴向右平移w0，其傅里叶逆变换=F（w）的傅里叶逆变换乘以因子exp（iw0t），反之乘以exp（-iw0t）

什么是傅里叶变换？

傅里叶变换，最牛的算法之一，广泛应用于物理学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域。有人说，看懂了傅里叶，也就看懂了世界，能改变一个人对世界的认知。这里我们不深究其中，无数学公式推导，仅为大众简单科普一下傅里叶变换是什么。傅里叶变换最精彩之处就是能够将信号在时域与频域之间进行变换，因此我们先解释一下什么是时域和频域。①时域时域（Time domain）是描述数学函数或物理信号对时间的关系，例如一个信号的时域波形可以表达信号随着时间的变化。比如下面这个时域图，1秒内反复振动了5次，频率是5，最大振幅是1，整图描述的是每一个时刻的信号值：②频域频域（frequency domain）是描述信号在频率方面特性时用到的一种坐标系，频域图显示了在一个频率范围内每个给定频带内的信号量。上面的时域图用频域表示，则是下图。横坐标表示频率，纵坐标表示振幅。这个图表示：这里面有一段波，频率为5，振幅为1。另外，频域表示还可以包括每个正弦曲线的相位，以便能够重新组合频率分量以恢复原始时间信号。不同相位决定了波的位置，从频域信息复原到时域信息，相位非常重要。红色和蓝色正弦波具有θ的相位差傅里叶变换先亮一下通用傅里叶公式。（“公式恐惧症”请闭眼滑过...)傅里叶变换，从定义上讲，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数或者它们的积分的线性组合。简单来说，它贯穿了时域与频域，能够将任何形式的周期性信号无限拆解，分为多个有规律的简单正弦波信号。（正弦波是一个圆周运动在一条直线上的投影，所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆。）傅里叶级数方波圆动画例如下面这种也是有规律的波形，可以拆解为若干组波的叠加。也就是说，傅里叶变换能够将一段复杂的波，分解成多段规律的、单纯波的集合。然后，对这些规律的波从频域进行描述，就有了整段波的谱线图。如下图，时域观测的方波信号是若干个正弦信号的叠加，当以时间为横轴时可以看到这些信号累加后得到的时域图像，而换一个角度，当以频率为坐标时，则得到的是一个个不同频率的脉冲。信号从时域到频域的转换，则是傅里叶正变换，从频率到时域的表示则是傅里叶逆变换。因此，时域和频域是以完全不同的角度表示相同的信息。（突然想吟诗一首：横看成岭侧成峰，远近高低各不同...）很多在时域看似不可能做到的操作，在频域却很容易，这就是需要傅里叶变换的地方。尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分，这在工程上称为滤波，是信号处理最重要的概念之一，只有在频域才能轻松的做到。例如在图像处理中，低频项决定了图像的整体形状，高频项则提供了细节，通过控制滤波器可以过滤掉不同频率的信息，从而决定输出的图像效果。

傅里叶变换常用公式是什么？

公式如下图： 傅里叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。 Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅立叶变换，②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的像函数，f(t)叫做F(ω)的像原函数。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像。 ①傅里叶变换 ②傅里叶逆变换 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小）。

傅里叶变换公式是什么？

傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。傅立叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。